Question

函数，数列，满足0＜＜1， ，数列满足，
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：0＜＜＜1；
（Ⅲ）若且＜，则当n≥2时，求证：＞

Answer 1

（Ⅰ）函数的递减区间（-1,0），递增区间（0，+）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．

试题分析：（Ⅰ）求函数的单调区间，首先确定定义域，可通过单调性的定义，或求导确定单调区间，由于，含有对数函数，可通过求导来确定单调区间，对函数求导得，由此令，，解出就能求出函数的单调区间；（Ⅱ）求证：0＜＜＜1，可先证0＜＜1，，再证数列单调递减，可先证0＜＜1，若能求出通项公式，利用通项公式来证，由已知0＜＜1， ，显然无法求通项公式，可考虑利用数学归纳法来证，结合函数的单调性易证，证数列单调递减，可用作差比较法＜0证得，从而的结论；（Ⅲ）若且＜，则当n≥2时，求证：＞，关键是求的通项公式，由，，所以，可得，只要证明＞，，即证，因为且＜，则，由此可得，所以，即证得．
试题解析：（Ⅰ）利用导数可求得函数的递减区间（-1,0），递增区间（0，+）
（Ⅱ）先用数学归纳法证明0＜＜1，.
①当n=1时，由已知得结论成立.②假设时，0＜＜1成立.则当时由（1）可得函数在上是增函数，所以＜＜=1-＜1，所以0＜＜1，即n=k+1时命题成立，由①②可得0＜＜1，成立.
又＜0，所以＜成立.
所以0＜＜＜1
（Ⅲ）因为，，所以，
所以……①
因为则，所以
因为，当时，，
所以……②
由①②两式可知