Question

设函数.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）令其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；
（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值.

Answer 1

（1）函数的最大值为；（2）实数的取值范围是；（3）.

试题分析：（1）将代入函数的解析式，利用导数求出函数的最大值；（2）先求出函数的解析式，利用导数将问题转化为对任意恒成立的问题来处理，利用二次函数的最值的求法求的最大值，从而得到实数的取值范围；（3）将问题等价转化为函数在定义域上只有一个零点来处理，结合导数来研究函数的单调性，利用极值与最值的关系求出正数的值.
试题解析：（1）依题意，知的定义域为，
当时，，      2分
令，解得
因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减。
所以的极大值为，此即为最大值        4分
（2），则有在上恒成立，
∴≥，             
当时，取得最大值，所以≥     8分
（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，
设，则令，
因为所以（舍去），，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，，取最小值.     10分
则 即 
所以因为所以     12分
设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解.
∵，∴方程(*)的解为，即，解得   14分