Question

已知函数，且的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.
（1）求的值；
（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围；
（3）对于函数与公共定义域内的任意实数，我们把的值称为两函数在处的偏差，求证：函数与在其公共定义域内的所有偏差都大于2

Answer 1

（1）；（2）的取值范围是；（3）见解析.

试题分析：（1）先求出的图象在它们与坐标轴交点，然后利用在此点处导数相等求解；（2）将题意转化为在时有解，即，利用导数求出在的最小值即可求得的取值范围；（3）两种方法；法一，公共定义域为，令在利用导数求出的最小值，再利用基本不等式可得结果.法二，当时，先证再证，两式相加即得.
试题解析：（1）的图像与轴的交点为，
的图像与轴的交点为，又，，3分
（2）存在使不等式成立，即在时有解，
则，因为，又由均值不等式得在上单调递增，所以
故所求的取值范围是                    8分
（方法一）（3）公共定义域为，令
则在单调递增，又
故在内存在唯一零点，
所以
所以故结论成立                                 12分
（方法二推荐）当时，先证再证，两式相加即得
证明方法构造函数所以在单调增，
所以，同理可以证明，相加即得.