Question

已知函数，（其中常数）.
（1）当时，求的极大值；
（2）试讨论在区间上的单调性；
（3）当时，曲线上总存在相异两点、，使得曲线
在点、处的切线互相平行，求的取值范围.

Answer 1

（1）函数的极大值为；（2）详见解析；（3）的取值范围是.

试题分析：（1）将代入函数的解析式，利用导数求出函数的极大值即可；（2）先求出导数，并求出方程的两根和，对这两根的大小以及两根是否在区间进行分类讨论，并借助导数正负确定函数在区间上的单调区间；（3）先利用函数在、两点处的切线平行得到，通过化简得到，利用基本不等式转化为
在上恒成立，于是有，进而求出的取值范围.
试题解析：（1）当时，，定义域为，
所以，
令，解得或，列表如下：

	减	极小值	增	极大值	减

故函数在处取得极大值，即；
（2），
由于，解方程，得，，
①当时，则有，
当时，；当时，，
即函数在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为；
②当时，，则在区间上恒成立，
故函数在区间上单调递减；
③当时，则有，
当，；当时，，
故函数在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为；
（3）由（2）知，，
由于，从而有，化简得，
即，由于，则有，
令，故有对任意恒成立，
而在上恒成立，
故函数在上单调递增，则函数在处取得最小值，即，
因此，所以，因此的取值范围是.