Question

已知函数f（x）在[0，+∞）上可导，其导函数记作f′（x），f（0）=-2，且f（x+π）=

1

2

f（x），当x∈[0，π）时，f′（x）•cos2x＞f（x）•sin2x-f′（x），若方程f（x）+k_nsecx=0在[0，+∞）上有n个解，则数列{

n

k2n

}的前n项和为（　　）

• A、（n-1）•2ⁿ+1
• B、（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
• C、n•2^n-1
• D、

  (2n-1)•3n+1

  4

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：由于f（0）=-2，且f（x+π）=

1

2

f（x），则f（π）=

1

2

f（0）=-1，f（2π）=

1

2

f(π)=-

1

2

，f（3π）=-

1

4

，
…，f（nπ）=-（

1

2

）^n-1．再由导数的积的运算法则和二倍角公式，得到f（x）cosx的单调性和极值，由条件可得，k_n=-f（x）cosx在[0，+∞）上有n个解，k₁=-f（0）cos0=2，k₂=-f（π）cosπ=-1，…，k_n=-f（（n-1）π）cos（n-1）π，则有k_2n=（

1

2

）^n-1，即有

n

k2n

=n•2^n-1，再运用错位相减法，即可得到前n项和．

解答： 解：由于f（0）=-2，且f（x+π）=

1

2

f（x），
则f（π）=

1

2

f（0）=-1，f（2π）=

1

2

f(π)=-

1

2

，f（3π）=-

1

4

，
…，f（nπ）=-（

1

2

）^n-1．
由于当x∈[0，π）时，f′（x）•cos2x＞f（x）•sin2x-f′（x），
则有f′（x）（1+cos2x）-f（x）sin2x＞0，
即有2cosx（f′（x）cosx-f（x）sinx）＞0，则2cosx•（f（x）cosx）′＞0，
则有cosx＞0，（f（x）cosx）′＞0，f（x）cosx在（0，

π

2

）递增，
cosx＜0，（f（x）cosx）′＜0，f（x）cosx在（

π

2

，π）递减，
由于方程f（x）+k_nsecx=0在[0，+∞）上有n个解，
即有k_n=-f（x）cosx在[0，+∞）上有n个解，
则k₁=-f（0）cos0=2，k₂=-f（π）cosπ=-1，k₃=-f（2π）cos2π=

1

2

，k₄=-f（3π）cos3π=-

1

4

，
…，k_n=-f（（n-1）π）cos（n-1）π，
则有k_2n=（

1

2

）^n-1，即有

n

k2n

=n•2^n-1，
令S=1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，则2S=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
两式相减得，-S=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ
则S=（n-1）•2ⁿ+1．
故选A．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查函数的零点问题，考查等比数列的通项和求和公式，考查错位相减法求数列的和，考查运算能力，属于中档题．