Question

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=$\frac{π}{4}$，b²-a²=$\frac{1}{2}$c²
（Ⅰ）求tanC的值；
（Ⅱ）若b=3，求△ABC的面积的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用余弦定理可得b²-a²=$\sqrt{2}$bc-c²，结合条件可得b=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$c，a=$\frac{\sqrt{10}}{4}$c．再由余弦定理，可得cosC，进而得到tanC；
（Ⅱ）运用两角和的正弦公式和正弦定理，以及三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）∵A=$\frac{π}{4}$，∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{4}$，
∴b²-a²=$\sqrt{2}$bc-c²，
又b²-a²=$\frac{1}{2}$c²．∴$\sqrt{2}$bc-c²=$\frac{1}{2}$c²．
∴$\sqrt{2}$b=$\frac{3}{2}$c．可得b=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$c，
∴a²=b²-$\frac{1}{2}$c²=$\frac{5}{8}$c²，即a=$\frac{\sqrt{10}}{4}$c．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\frac{5}{8}{c}^{2}+\frac{9}{8}{c}^{2}-{c}^{2}}{2×\frac{\sqrt{10}}{4}c•\frac{3\sqrt{2}}{4}c}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∵C∈（0，π），
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=2．
（Ⅱ）由sinB=sin（A+C）=sin（C+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinC+cosC）=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
由正弦定理得c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$b，因为b=3，
所以c=2$\sqrt{2}$，又A=$\frac{π}{4}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$3×2\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．