Question

已知

1

x

+

1

y

=1，x＞0，y＞0，x²+y²+z²=2xyz，则x+y+z的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：令x+y+z=k，代入x²+y²+z²=2xyz=2xyz得得4（x+y）²-（4k+2）（x+y）+k²=0，再根据基本不等式x+y=（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥4，然后求出k的取值范围，最后x+y=

(2k+1)+ 4k+1

4

≥4求出xk
的最小值．

解答： 解：

1

x

+

1

y

=1，∴x+y=xy．①
设x+y+z=k，则z=k-x-y，
代入x²+y²+z²=2xyz=x²+y²+（k-x-y）²=2xy（k-x-y）=2（x+y）[k-（x+y）]，（由①）
2（x+y）²-2xy+k²-2k（x+y）=2k（x+y）-2（x+y）²，
4（x+y）²-（4k+2）（x+y）+k²=0，

△

4

=（2k+1）²-4k²=4k+1，
x+y=（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥4，
∴x+y=

(2k+1)+ 4k+1

4

≥4
2k+1+

4k+1

≥16，

4k+1

≥15-2k，
化为k≥=7.5，或k＜7.5且4k²-60k+225≤4k+1，
4k²-64k+224≤0，
k²-16k+56≤0，
∴k≥8-2

2

，
∴x+y+z的最小值是8-2

2

．
故答案为：8-2

2

点评：本题主要考查了不等式的基本应用，本题关键是转化思想，属于中档题．