Question

设函数，，，记.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，若函数没有零点，求的取值范围.

Answer 1

（1）曲线在处的切线方程；（2）当时，函数的增区间是，当时，函数的增区间是，减区间是；（3）实数的取值范围为.

试题分析：（1）求曲线在处的切线方程，由导数的几何意义得，对函数求导得，既得函数在处的切线的斜率为，又，得切点，由点斜式可得切线方程；（2）求函数的单调区间，由题意得，，求函数的单调区间，先确定函数的定义域为，由于含有对数函数，可对函数求导得，，由于含有参数，需对讨论，分，两种情况，从而得函数的单调区间；（3）当时，若函数没有零点，即无解，由（2）可知，当时，函数的最大值为，只要小于零即可，由此可得的取值范围．
试题解析：(1)，则函数在处的切线的斜率为.又，
所以函数在处的切线方程为,即       4分
（2）， ，（）.
①当时，，在区间上单调递增；
②当时，令，解得；令，解得.
综上所述，当时，函数的增区间是；
当时，函数的增区间是，减区间是.       9分
（3）依题意，函数没有零点，即无解.
由（2）知，当时，函数在区间上为增函数,区间上为减函数，
由于，只需，
解得.
所以实数的取值范围为.                    13分