Question

已知函数f（x）=x-1-alnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0成立，求实数a的取值集合．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，x∈（0，+∞），再讨论a的取值范围，从而求出其单调区间；
（Ⅱ）由题意得：f（x）_min≥0，求出g（a）_min=g（1）=0，故a-1-alna≥0成立的解只有a=1，当a≤1，不合题意，问题得解．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，x∈（0，+∞），
当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞），
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=0，
x∈（0，a）时，f（x）单调递减，
x∈（a，+∞）时，f（x）单调递增；
综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）上递增，无减区间，
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）；
（Ⅱ）由题意得：f（x）_min≥0，
由（Ⅰ）得，当a＞0时，f（x）_min=f（a）=a-1-alna，
则f（a）=a-1-alna≥0，
令g（a）=a-1-alna，
可得g′（a）=-lna，
因此g（a）在（0，1）递增，在（1，+∞）上递减，
∴g（a）_min=g（1）=0，
故a-1-alna≥0成立的解只有a=1，
当a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，
x→0，f（x）→-∞，故不合题意，
综上：a的取值集合为{1}．

点评：本题考察了函数的单调性，渗透了分类讨论思想，属于中档题．