Question

7．设S_n为数列{c_n}的前n项和，a_n=2ⁿ，b_n=50-3n，c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}{，a}_{n}{＞b}_{n}}\\{{b}_{n}{，a}_{n}{＜b}_{n}}\end{array}\right.$．
（1）求c₄与c₈的等差中项；
（2）当n＞5时，设数列{S_n}的前n项和为T_n．
（ⅰ）求T_n；
（ⅱ）当n＞5时，判断数列{T_n-34ln}的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出c₄=38，c₈=256，由此能求出c₄与c₈的等差中项．
（2）（i）当n≤5时，a_n＜b_n，则S₁=47，S₂=91，S₃=132，S₄=170，S₅=205，当n=5时，a_n=b_n，从而S_n=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+a₆+a₇+…+a_n=205+$\frac{{2}^{6}-{2}^{n+1}}{1-2}$=2ⁿ⁺¹+141．由此能求出当n＞5时，数列{S_n}的前n项和为T_n．
（ii）设d_n=T_n-341n=2ⁿ⁺²-200n-188，则d_n+1-d_n=2ⁿ⁺²-200，由此能求出当n＞5时，数列{T_n-34ln}的单调递增．

解答 解：（1）∵a₄＜b₄=38，∴c₄=38，
∵b₈＜a₈=256，∴c₈=256，
∴c₄与c₈的等差中项为$\frac{{c}_{4}+{c}_{8}}{2}$=$\frac{38+256}{2}=147$．
（2）（i）当n≤5时，a_n＜b_n，
则S₁=47，S₂=91，S₃=132，S₄=170，S₅=205，
当n=5时，a_n=b_n，
则S_n=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+a₆+a₇+…+a_n
=205+$\frac{{2}^{6}-{2}^{n+1}}{1-2}$=2ⁿ⁺¹+141．
∴当n＞5时，T_n=47+91+132+170+205+（2⁷+141）+（2⁸+141）+…+（2ⁿ⁺¹+141）
=645+$\frac{{2}^{7}-{2}^{n+2}}{1-2}$+141（n-5）=2ⁿ⁺²+141n-188．
（ii）设d_n=T_n-341n=2ⁿ⁺²-200n-188，
d_n+1-d_n=2ⁿ⁺²-200，
当n＞5时，2ⁿ⁺²-200＞0，
∴d_n+1＞d_n，
∴当n＞5时，数列{T_n-34ln}的单调递增．

点评 本题考查数列中的第4项与第8项的等差中项的求法，考查数列的前n项和的求法，考查数列的单调性质的判断，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．