Question

3．在正三角形ABC中，D是BC上的点，$AB=1，BD=\frac{1}{3}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 根据AB=1，BD=$\frac{1}{3}$，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把 $\overrightarrow{AD}$用 $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$的值．

解答 解：∵AB=1，BD=$\frac{1}{3}$，
∴D是BC上的三等分点，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$）
=$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=1-$\frac{1}{3}$×1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$，
故答案为：$\frac{5}{6}$．

点评 此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．