题目内容

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，AC∩BD=H．沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：（提示：设OH=x）
（ⅰ）求四棱锥P-BDEF的体积；
（ⅱ）若点Q在线段AP上，试探究：直线OQ与平面E所成角是否一定大于或等于45°？并说明你的理由．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角
专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）利用菱形ABCD的对角线互相垂直证明BD⊥AO，证明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用线面垂直的判定，可得BD⊥平面POA；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz．（ⅰ）设AO∩BD=H，PO=x，则
PB
=（2
3
-x，2，-x），从而确定PB的最小值，进而可得四棱锥P-BDEF的体积；
（ⅱ）确定
OQ
的坐标，求出平面PBD的法向量
n
=（1，0，1），利用向量的夹角公式可求直线OQ与平面PBD所成的角，从而可得结论成立．
解答： （Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，…（1分）
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，
且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，…（2分）
∵BD?平面ABFED，
∴PO⊥BD．…（3分）
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（Ⅱ）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．（5分）
（ⅰ）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，
故BD=4，HB=2，HC=2
3
．
又设PO=x，则OH=2
3
-x，OA=4
3
-x．
O（0，0，0），P（0，0，x），B（2
3
-x，2，0），
故
PB
=（2
3
-x，2，-x），（6分）
∴|
PB
|=
2(x-
3
)2+10
，
∴当x=
3
时，|PB|min=
10
．
此时PO=
3
，OH=
3
（7分）
由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，
∴V=
1
3
（
3
4
×42-
3
4
×22）×
3
=3．（8分）
（ⅱ）设点Q的坐标为（a，0，c），由（i）知，OP=
3
，则A（3
3
，0，0），B（
3
，2，0），D（
3
，-2，0），P（0，0，
3
）．
∴
AQ
=（a-3
3
，0，c），
QP
=（-a，0，
3
-c），（9分）
设
AQ
=λ
QP
（λ＞0），
则Q（
3
3
λ+1
，0，
3
λ
λ+1
），
∴
OQ
=（
3
3
λ+1
，0，
3
λ
λ+1
），（10分）
设平面PBD的法向量为
n
=（x，y，z），则
3
x+2y-
3
z=0
-4y=0
，
取x=1，解得：y=0，z=1，
∴
n
=（1，0，1）．（11分）
设直线OQ与平面PBD所成的角θ，
∴sinθ=|cos＜
OQ
，
n
＞|=
1
2
×
1+
6λ
9+λ2
．（12分）
又∵λ＞0∴sinθ＞
2
2
．（13分）
∵θ∈[0，
π
2
]，∴θ＞
π
4
．
因此直线OQ与平面PBD所成角大于
π
4
，即结论成立． （14分）
点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键．
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3
4
．
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1
2
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AP
=2
PM
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，
AC
表示
PA
．
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e1
，
e2
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AB
=2
e1
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e2
，
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e1
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e2
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e1
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e2
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π
8
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π
8
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．

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