Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=2，b=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知得$-cos（A+B）+cosAcosB-\sqrt{3}sinAcosB=0$，$tanB=\sqrt{3}$，即$B=\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac（1+cosB）．即ac=1．即可求出△ABC的面积

解答 解：（1）由已知得$-cos（A+B）+cosAcosB-\sqrt{3}sinAcosB=0$，即有$sinAsinB-\sqrt{3}sinAcosB=0$
因为sinA≠0，所以$sinB-\sqrt{3}cosB=0$，又cosB≠0，所以$tanB=\sqrt{3}$，
又0＜B＜π，所以$B=\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理，有b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac（1+cosB）．
因为$a+c=2，cosB=\frac{1}{2}，b=1$，有ac=1．
 于是有${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了三角恒等变形、余弦定理，属于中档题．