Question

16．定义在R上的奇函数y=f（x）为减函数，若m，n满足f（m²-2m）+f（2n-n²）≤0，则当1≤n≤$\frac{3}{2}$时，$\frac{m}{n}$的取值范围为（　　）

• A． [-$\frac{2}{3}$，1]
• B． [1，$\frac{3}{2}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{2}$]
• D． [$\frac{1}{3}$，1]

Answer 1

分析 根据条件，确定函数的奇偶性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用线性规划的知识即可得到结论．

解答 解：由题意，不等式f（m²-2m）+f（2n-n²）≤0等价为f（m²-2m）≤-f（2n-n²）=f（-2n+n²），
∵定义在R上的函数y=f（x）是减函数
∴m²-2m≥n²-2n，即（m-n）（m+n-2）≥0，且1≤n≤$\frac{3}{2}$，
n=$\frac{3}{2}$，m=$\frac{3}{2}$，或m=$\frac{1}{2}$设z=$\frac{m}{n}$，则z的几何意义为区域内的动点P（n，m）与原点连线的斜率，
（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）与原点的连线斜率为1，（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）与原点的连线斜率为$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{m}{n}$的取值范围为[$\frac{1}{3}，1]$
故选：D．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用线性规划以及直线斜率的几何意义是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．