题目内容
5．已知x，y满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y+1≤0}\\{2x+y+5≥0}\\{x-y+1≥0}\end{array}}\right.$，则$z=\frac{x+1}{x+2y-3}$的取值范围为（ ）| A． | （-∞，-1，]∪[3，+∞） | B． | $[{-1，\frac{1}{7}}]$ | C． | $[{-1，0}）∪（{0，\frac{1}{7}}]$ | D． | （-∞，-1]∪[7，+∞） |
分析 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合z′=$\frac{y-2}{x+1}$的几何意义求出z的范围即可．
解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
∵$z=\frac{x+1}{x+2y-3}$，∴$\frac{1}{z}$=$\frac{x+2y-3}{x+1}$=1+$\frac{2（y-2）}{x+1}$，
令z′=$\frac{y-2}{x+1}$，z′的几何意义表示平面区域内的点和（-1，2）点的直线的斜率，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+5=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得A（-2，-1），
故KAD=$\frac{2+1}{-1+2}$=3，KCD=-1，
∴-1≤$\frac{1}{z}$≤7，
故-1≤z＜0或0＜z≤$\frac{1}{7}$，
故选：C．
点评 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
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| A． | 0 | B． | $\frac{π}{6}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{2}$ |
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| A． | （-∞，0） | B． | （0，+∞） | C． | （-∞，2） | D． | （2，+∞） |