Question

17．已知f（x）=（x-a）²+4ln（x+1）的图象在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．
（1）求实数a的值；             
（2）求出f（x）的所有极值．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用f（x）=（x-a）²+4ln（x+1）的图象在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，可得f′（1）=2（1-a）+2=0，即可求实数a的值；             
（2）确定函数的单调性，即可求出f（x）的所有极值．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-a）²+4ln（x+1），
∴f′（x）=2（x-a）+$\frac{4}{x+1}$，
∵f（x）=（x-a）²+4ln（x+1）的图象在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，
∴f′（1）=2（1-a）+2=0，
∴a=2；
（2）f′（x）=$\frac{2x（x-1）}{x+1}$（x＞-1），
令f′（x）＞0，可得函数f（x）在（-1，0），（1，+∞）上单调递增，
令f′（x）＜0，可得函数f（x）在（0，1）上单调递减，
∴x=0时，函数取得极大值4，x=1时，函数取得极小值f（1）=1+4ln2．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．