Question

过抛物线y²=10x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（　　）

• A、有且仅有一条
• B、有且仅有两条
• C、有无穷多条
• D、不存在

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：过抛物线y²=10x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，先看直线AB斜率不存在时，求得横坐标之和等于5，符合题意；进而设直线AB为y=k（x-

5

2

）与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出A、B两点的横坐标之和，进而求得k．得出结论．

解答： 解：过抛物线y²=10x的焦点（

5

2

，0），作一条直线与抛物线相交于A、B两点，
若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于5，适合．
再设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x-

5

2

），
代入抛物线y²=10x得，k²x²-（5k²+10）x+

25

4

k²=0，
∵A、B两点的横坐标之和等于5，
∴

5(k2+2)

k2

=5，解得k∈∅，
则这样的直线有且仅有一条，
故选：A．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．解题的时候要注意讨论直线斜率不存在时的情况，以免遗漏．