某省高中男生升高统计调查数据显示:全省100000名男生的身高服从正态分布N.现从该省某高校三年级男生中随机抽取50名测量身高.测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间.将测量结果按如下方式分成6组:第一组[157.5.162.5].第二组[162.5.167.5].-.第六组[182.5.187.5].如图是按上述分组方法得到� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．某省高中男生升高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N（170.5，16），现从该省某高校三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5]，第二组[162.5，167.5]，…，第六组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）求该学校高三年级男生的平均身高；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）求被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；
（3）从被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，记该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

分析（1）由频率分布直方图能求出该校高三年级男生平均身高．
（2）由频率分布直方图知后两组频率为0.2，由此能求出这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数．
（3）由题意随机变量ξ可取0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的数学期望．

解答解：（1）由频率分布直方图得该校高三年级男生平均身高为：
160×0.1+165×0.2+170×0.3+175×0.2+180×0.1+185×0.1=171.5．
（2）由频率分布直方图知后两组频率为0.2，人数为0.2×50=10，
即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数为10人．
（3）∵P（170.5-3×4＜ξ＜170.5+3×4）=0.9974，
∴P（ξ≥182.5）=$\frac{1-0.9974}{2}$=0.0013，
而0.0013×100000=130，
∴全省前130名身高在182.5cm以上，这50人中182.5cm以上的有5人，
随机变量ξ可取0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{5}{9}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，
E（ξ）=$0×\frac{2}{9}+1×\frac{5}{9}+2×\frac{2}{9}$=1．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．