Question

14．（1）若cos$（{\frac{π}{4}+x}）$=$\frac{3}{5}$，$\frac{17}{12}$π＜x＜$\frac{7}{4}$π，求$\frac{{sin2x+2si{n^2}x}}{1-tanx}$的值．
（2）已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1（x∈R），若f（x₀）=$\frac{6}{5}$，x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）根据同角的三角函数关系，转化法求出cosx、sinx和tanx的值，再计算所求的算式；
（2）利用三角恒等变换化简f（x），根据f（x₀）=$\frac{6}{5}$求出sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）和cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）的值，再计算cos2x₀的值．

解答 解：（1）由$\frac{17}{12}$π＜x＜$\frac{7}{4}$π，得$\frac{5}{3}$π＜x+$\frac{π}{4}$＜2π，
又cos$（{\frac{π}{4}+x}）$=$\frac{3}{5}$，∴sin$（{\frac{π}{4}+x}）$=-$\frac{4}{5}$；
∴cosx=cos$[{（{\frac{π}{4}+x}）-\frac{π}{4}}]$=cos$（{\frac{π}{4}+x}）$cos$\frac{π}{4}$+sin$（{\frac{π}{4}+x}）$sin$\frac{π}{4}$=-$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，
从而sinx=-$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，tanx=7；
故原式=$\frac{{2sinxcosx+2si{n^2}x}}{1-tanx}=\frac{{2（{-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}}）•（{-\frac{{\sqrt{2}}}{10}}）+2{{（{-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}}）}^2}}}{1-7}=-\frac{28}{75}$；
（2）f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
当f（x₀）=$\frac{6}{5}$时，
sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
又x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=-$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题考查了同角的三角函数关系与三角恒等变换的应用问题，是综合性题目．