Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=120°，E为AB的中点，将△ADE 沿直线DE翻折成△A′DE，F为A′C的中点，A′C=4
（I）求证：平面A′DE⊥平面BCD；
（II）求证：BF∥平面A′DE．

Answer 1

证明：（Ⅰ）证由题意得△A'DE是△ADE沿DE翻转而成，所以△A'DE≌△ADE，
∵∠ABC=120°，四边形ABCD是平形四边形，
∴∠A=60°，又∵AD=AE=2∴△A'DE和△ADE都是等边三角形．∵M是DE的中点，∴
由在∵△DMC中，MC²=4²+1²-2×4×1•cos60°，
∴． 在△A'MC中，，
∴△A'MC是直角三角形，∴A'M⊥MC，又∵A'M⊥DE，MC∩DE=M，∴A'M⊥平面ABCD．
又∵A'M?平面A'DE∴平面A'DE⊥平面BCD．
（Ⅱ）选取DC的中点N，连接FN，NB．∵A'C=DC=4，F，N点分别是A'C，DC中点，∴FN∥A'D．
又∵N，E点分别是平行四边形ABCD的边 DC，AB的中点，∴BN∥DE．
又∵A'D∩DE=D，FN∩NB=N，∴平面A'DE∥平面FNB，∵FB?平面FNB，∴FB∥平面A'DE．
分析：（Ⅰ）由等边三角形的性质可得A'M⊥DE，由勾股定理可得A'M⊥MC，从而证明A'M⊥平面ABCD．
（Ⅱ）选取DC的中点N，由三角形中位线的性质可得FN∥A'D，由平行四边形的性质可证BN∥DE，证明平面A'DE∥平面FNB，从而证明FB∥平面A'DE．
点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，面面垂直的判定和性质，取DC的中点N 是解题的关键．