题目内容

12．在平面直角坐标系中，已知An（n，an），Bn（n，bn），Cn（n-1，0），（n∈N*），满足向量$\overrightarrow{{A_n}{A_{n+1}}}$与向量$\overrightarrow{{B_n}{C_n}}$共线，且bn+1-bn=6若a1=6，b1=12．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）求数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和Tn．

分析 （1）由题意得bn=12+6（n-1）=6（n+1），$\overrightarrow{{A_n}{A_{n+1}}}$=（1，an+1-an），$\overrightarrow{{B_n}{C_n}}$=（-1，-bn），从而可得an+1-an=bn=6（n+1），利用累加法求通项；
（2）化简$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），从而利用裂项求和法求前n项和．

解答 解：（1）∵bn+1-bn=6，b1=12；
∴bn=12+6（n-1）=6（n+1），
∵An（n，an），Bn（n，bn），Cn（n-1，0），
∴$\overrightarrow{{A_n}{A_{n+1}}}$=（1，an+1-an），$\overrightarrow{{B_n}{C_n}}$=（-1，-bn），
又∵向量$\overrightarrow{{A_n}{A_{n+1}}}$与向量$\overrightarrow{{B_n}{C_n}}$共线，
∴an+1-an=bn=6（n+1），
∴an-an-1=6n，
∴a2-a1=12，
a3-a2=18，
…
an-an-1=6n；
相加可得，
an-a1=12+18+…+6n，
故an=6+12+18+…+6n=$\frac{6+6n}{2}$n，
故an=3（n+1）n，
（2）$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故Tn=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{3n+3}$．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法及前n项和公式的应用，同时考查了平面向量的应用．

练习册系列答案
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