Question

3．若a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2．
（1）求a³+b³的最小值；
（2）是否存在a，b使a+4b=3？

Answer 1

分析 （1）由条件利用基本不等式求得ab≥1，再利用基本不等式求得a³+b³的最小值
（2）根据基本不等式求的a+4b＞3，从而可得不存在a，b，使得a+4b=3．

解答 解：（1）∵2=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{ab}}$≤1，当且仅当a=b=1时取等号，
∴$\sqrt{ab}$≥1
∴ab≥1，
∴a³+b³≥2$\sqrt{{a}^{3}•{b}^{3}}$≥2，
∴a³+b³的最小值为2．
（2）不存在a，b使a+4b=3．
∵a+4b≥2$\sqrt{4ab}$=4$\sqrt{ab}$≥4＞3，
故不存在a，b，存在a，b使a+4b=3成立．

点评 本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．