Question

【题目】已知正数数列{xn}满足x1= ，xn+1= ，n∈N* ．
（1）求x2 ， x4 ， x6 ．
（2）猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵正数数列{xn}满足x1= ，xn+1= ，n∈N*．

∴x2= = ．同理可得x4= ，x6=

（2）解：由x2≥x4≥x6．猜想：数列{x2n}的单调递减．

下面利用数学归纳法证明：①当n=1，2时，命题成立．

②假设当n=k∈N*时命题成立，即x2k＞x2k+2，xk＞0．

当n=k+1时，x2k+2﹣x2k+4= ﹣ = = ＞0，即x2（k+1）＞x2（k+1）+2，也就是说，当n=k+1时命题也成立．

结合①和②知命题成立

【解析】（1）由正数数列{xn}满足x1= ，xn+1= ，n∈N* ． 可得x2= = ．同理可得x4 ， x6 ． （2）由x2≥x4≥x6 ． 猜想：数列{x2n}的单调递减．利用数学归纳法证明即可得出．
【考点精析】通过灵活运用数列的通项公式，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．