Question

【题目】已知函数 ，f′（x）为函数f（x）的导函数．

（1）若F（x）=f（x）+b，函数F（x）在x=1处的切线方程为2x+y﹣1=0，求a，b的值；
（2）若f′（x）≤﹣x+ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数 ，

∴F′（x）=lnx+x﹣ax2，

∵函数F（x）在x=1处的切线方程为2x+y﹣1=0，

∴F′（1）=﹣2，F（1）=﹣1，

∴1﹣a=﹣2，﹣1+ ﹣ +b=﹣1，

∴a=3，b=

（2）解：lnx+x﹣ax2≤﹣x+ax，

∴a≥ ，

设g（x）= ，则g′（x）= ，

又h（x）=1﹣lnx﹣x，则h′（x）=﹣ ﹣1＜0

又因为h（1）=0，所以（0，1），h（x）＞0，（1，+∞），h（x）＜0，

∴g（x）= 在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减，

∴g（x）max=1，

∴a≥1．

【解析】（1）求导数，利用函数F（x）在x=1处的切线方程为2x+y﹣1=0，F′（1）=﹣2，F（1）=﹣1，即可求a，b的值；（2）若f′（x）≤﹣x+ax恒成立，a≥ ，求出右边的最大值，即可求实数a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．