Question

8．已知直线2mx-y-8m-3=0和圆（x-3）²+（y+6）²=25相交于A，B两点，当弦AB最短时，m的值为（　　）

• A． -$\frac{1}{6}$
• B． -6
• C． 6
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 直线过定点，根据直线和圆相交的性质确定线段AB最短时的等价条件即可求出直线斜率，求出m值．

解答 解：将直线l变形得：2m（x-4）+（y+3）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-4=0}\\{y+3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-3}\end{array}\right.$，即直线L恒过A（4，-3），
将圆C化为标准方程得：（x-3）²+（y+6）²=25，
∴圆心C为（3，-6），半径r=5，
∵点A到圆心C的距离d=$\sqrt{（4-3）^{2}+（-3+6）^{2}}$=$\sqrt{10}$＜5=r，
∴点A在圆内，
则L与C总相交；
若线段AB最短，
则满足CA⊥L，
∵直径AC所在直线方程的斜率为$\frac{-3+6}{4-3}$=3，
∴此时l的斜率为-$\frac{1}{3}$，可得2m=$\frac{1}{3}$，解得m=$\frac{1}{6}$
故选：A．

点评 本题主要考查直线与圆相交的性质，考查恒过定点的直线方程，圆的标准方程的应用，要求熟练掌握直线和圆相交的性质．