Question

3．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点作圆O的切线交CB的延长线于点P，AE交BC和圆O于点D、E，且$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{DB}$，若PA=2PB=10．
（Ⅰ）求证：AC=2AB；
（Ⅱ）求AD•DE的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明△ABP∽△CAP，然后证明AC=2AB；
（Ⅱ）利用切割线定理以及相交弦定理直接求AD•DE的值．

解答 （Ⅰ）证明：∵PA是圆O的切线，∴∠PAB=∠ACB．
又∠P是公共角
∴△ABP∽△CAP…（4分）
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{PB}=2$，
∴AC=2AB…（6分）
（Ⅱ）解：由切割线定理得：PA²=PB•PC∴PC=20
又PB=5，∴BC=15…（9分）
又∵$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{DB}=2$
∴CD=2DB，
∴CD=10，DB=5…（11分）
又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50…（13分）

点评 本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．属于中档题．