Question

13．已知等差数列{a_n}，满足a₁=3，a₅=15，数列{b_n}满足b₁=4，b₅=31，设c_n=b_n-a_n，且数列{c_n}为等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，满足a₁=3，a₅=15，可得15=3+4d，解得d可得a_n．由数列{b_n}满足b₁=4，b₅=31，设c_n=b_n-a_n，且数列{c_n}为等比数列（可设公比为q）．可得c₁=1，c₅=16，利用16=1×q⁴，可得q，即可得出．
（2）对q分类讨论，利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，满足a₁=3，a₅=15，
∴15=3+4d，解得d=3．
∴a_n=3+3（n-1）=3n．
∵数列{b_n}满足b₁=4，b₅=31，设c_n=b_n-a_n，且数列{c_n}为等比数列（可设公比为q）．
∴c₁=4-3=1，c₅=31-15=16，
∴16=1×q⁴，
解得q=±2，
∴${c}_{n}=（±2）^{n-1}$．
∴b_n=a_n+c_n=3n+（±2）^n-1．
（2）当q=2时，数列{b_n}的前n项和=$\frac{n（3+3n）}{2}$+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=$\frac{3（{n}^{2}+n）}{2}$+2ⁿ-1．
当q=-2时，数列{b_n}的前n项和=$\frac{n（3+3n）}{2}$+$\frac{（-2）^{n}-1}{-2-1}$=$\frac{3（{n}^{2}+n）}{2}$-$\frac{1}{3}[（-2）^{n}-1]$．

点评 本题考查了等差数列等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．