Question

18．设x，y，向量$\overrightarrow a=（x，1），\overrightarrow b=（1，y），\overrightarrow c=（2，-4）$，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow c$，$\overrightarrow b∥\overrightarrow c$，则$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}$|=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根据两向量平行与垂直的坐标表示，列出方程求出x、y的值，再计算$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的模长即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a=（x，1），\overrightarrow b=（1，y），\overrightarrow c=（2，-4）$，
且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow c$，$\overrightarrow b∥\overrightarrow c$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-4=0}\\{-4-2y=0}\end{array}\right.$；
解得x=2，y=-2，
∴$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（1，-2）；
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（3，-1），
$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}$|=$\sqrt{{3}^{2}{+（-1）}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了平面向量的平行与垂直的坐标表示与运算问题，也考查了求向量的模长问题，是基础题目．