Question

1．若函数f（x）=$\sqrt{2}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-\sqrt{2}{sin^2}\frac{x}{2}$，则函数f（x）的最小正周期为2π；函数f（x）在区间[-π，0]上的最小值是-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函数的恒等变换化简f（x），求出它的最小正周期以及在闭区间[-π，0]上的最小值即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\sqrt{2}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-\sqrt{2}{sin^2}\frac{x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（1-cosx）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴它的最小正周期为T=2π．
由x∈[-π，0]，可得x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴当x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{3π}{4}$时，函数f（x）取得最小值为-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
综上，函数f（x）的最小正周期为2π；在区间[-π，0]上的最小值为-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：2π，$-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换以及正弦函数在闭区间上的最值问题，是基础题目．