题目内容

2．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（　　）
A．0B．1C．2D．3

分析 在①中，由已知推导出C1M⊥AA1，C1M⊥A1B1，从而得到C1M⊥平面A1ABB1；在②中，由已知推导出A1B⊥平面AC1M，从而A1B⊥AM，由AN$\underset{∥}{=}$B1M，得AM∥B1N，进而得到A1B⊥NB1；在③中，由AM∥B1N，C1M∥CN，得到平面AMC1∥平面CNB1．

解答 解：在①中：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M?平面A1B1C1，
∴C1M⊥AA1，
∵B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，
∴C1M⊥A1B1，AA1∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面A1ABB1，故①正确；
在②中：∵C1M⊥平面A1ABB1，∴CN⊥平面A1ABB1，A1B?平面A1ABB1，
∴A1B⊥CN，A1B⊥C1M，
∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AC1M，AM?面AC1M，
∴A1B⊥AM，
∵AN$\underset{∥}{=}$B1M，∴AM∥B1N，
∴A1B⊥NB1，故②正确；
在③中：∵AM∥B1N，C1M∥CN，AM∩C1M=M，B1N∩CN=N，
∴平面AMC1∥平面CNB1，故③正确．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．

练习册系列答案
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