Question

已知函数
（1）当时，求函数在上的极值；
（2）证明：当时，；
（3）证明： .

Answer 1

（1）；（2）证明过程详见解析；（3）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值和最值、不等式等基础知识，考查函数思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，将代入，得到解析式，对它求导，列出表格，通过单调性，判断极值；第二问，证明不等式转化为求函数的最小值大于0；第三问，利用第二问的结论，令，利用放缩法得到，再利用对数的性质和裂项相消法求和，得到所证不等式.
试题解析：（1）当时，
          1分
变化如下表

	+	0		0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

，       4分
（2）令 
则                 6分
∴在上为增函数。       8分
                                     9分
（3）由（2）知                       10分
令得，     12分

     13分
                       14分