Question

【题目】已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为__________．

Answer 1

【答案】2

【解析】解：双曲线的渐近线方程为，

右顶点(a,0)到其一条渐近线的距离等于，

可得，解得，即有c=1，

由题意可得，解得p=2，

即有抛物线的方程为y2=4x，

如图,过点M作MA⊥l1于点A，

作MB⊥准线l2:x=1于点C，

连接MF，根据抛物线的定义得MA+MC=MA+MF，

设M到l1的距离为d1,M到直线l2的距离为d2，

∴d1+d2=MA+MC=MA+MF，

根据平面几何知识，可得当M、A. F三点共线时，MA+MF有最小值。

∵F(1,0)到直线l1:4x3y+6=0的距离为.

∴MA+MF的最小值是2，

由此可得所求距离和的最小值为2.

故答案为2.