Question

13．设函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x+a+1，且x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，f（x）的最小值为2．
（1）求实数a的值；
（2）当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，方程f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$有两个不同的零点α，β，求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2+a，由x的范围和最小值可得a的方程，解方程可得；
（2）由题意可得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，可得2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$或2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，解方程相加可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x+a+1
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1+cos2x+a+1=$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2+a
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2+a，当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$时，f（x）的最小值$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2+a=2，解得a=-$\frac{3}{2}$；
（2）由（1）可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
由f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$可得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$或2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，解得x=-$\frac{π}{12}$或x=$\frac{π}{4}$，
∴α+β=-$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的图象和性质，属中档题．