Question

18．已知数列{a_n}满足：对于任意n∈N*且n≥2时，a_n+λa_n-1=2n+1，a₁=4．
（1）若$λ=-\frac{1}{3}$，求证：{a_n-3n}为等比数列；
（2）若λ=-1．①求数列{a_n}的通项公式；
②是否存在k∈N*，使得$\sqrt{{a}_{2k}{a}_{2k+1}}$+25为数列{a_n}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）$λ=-\frac{1}{3}$，n≥2时，a_n-$\frac{1}{3}$a_n-1=2n+1，化为：a_n-3n=$\frac{1}{3}$[a_n-1-3（n-1）]，即可证明．
（2）①λ=-1时，n≥2时，a_n-a_n-1=2n+1，a₁=4．利用累加求和即可得出．
②假设存在存在k∈N*，使得$\sqrt{{a}_{2k}{a}_{2k+1}}$+25为数列{a_n}中的第n项，可得$\sqrt{{a}_{2k}{a}_{2k+1}}$+25=（n+1）²，可得
（2k+1）×（2k+2）+25=（n+1）²，由于左边是奇数，因此n必然为偶数．又（2k+1）×（2k+2）=（n+6）（n-4），可得（4k+2）×（k+1）=（n+6）（n-4），因此k必然为奇数，只有可能$\left\{\begin{array}{l}{4k+2=n+6}\\{k+1=n-4}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 （1）证明：$λ=-\frac{1}{3}$，n≥2时，a_n-$\frac{1}{3}$a_n-1=2n+1，化为：a_n-3n=$\frac{1}{3}$[a_n-1-3（n-1）]，
∴数列{a_n-3n}为等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{3}$．
（2）解：①λ=-1时，n≥2时，a_n-a_n-1=2n+1，a₁=4．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=（2n+1）+（2n-1）+…+（2×2+1）+4
=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$+1=n²+2n+1=（n+1）²．
②假设存在存在k∈N*，使得$\sqrt{{a}_{2k}{a}_{2k+1}}$+25为数列{a_n}中的第n项，则$\sqrt{{a}_{2k}{a}_{2k+1}}$+25=（n+1）²，
则（2k+1）×（2k+2）+25=（n+1）²，
由于左边是奇数，因此n必然为偶数．
又（2k+1）×（2k+2）=（n+6）（n-4），
∴（4k+2）×（k+1）=（n+6）（n-4），
因此k必然为奇数，若$\left\{\begin{array}{l}{4k+2=n+6}\\{k+1=n-4}\end{array}\right.$，解得k=3，n=8．
只能有一解．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、累加求和方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．