Question

3．设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点P（-1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，若$\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}=\frac{1}{2}$，则k=（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦公式，联立即可求得x₁，x₂，由x₁•x₂=1，即可求得k的值．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
直线AB的方程为y-0=k （x+1），k＞0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入抛物线y²=4x化简可得 k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-（2{k}^{2}-4）}{{k}^{2}}$，①x₁•x₂=1，②
由抛物线的焦半径公式可知：丨AF丨=x₁+$\frac{p}{2}$=x₁+1，丨BF丨=x₂+$\frac{p}{2}$=x₂+1，
由$\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}=\frac{1}{2}$，则$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{1}{2}$，则x₂-2x₁=1，③
由①②解得：x₁=$\frac{-3{k}^{2}+4}{3{k}^{2}}$，x₂=$\frac{-3{k}^{2}+8}{3{k}^{2}}$，
x₁•x₂=$\frac{-3{k}^{2}+4}{3{k}^{2}}$×$\frac{-3{k}^{2}+8}{3{k}^{2}}$=1，整理得：k²=$\frac{8}{9}$，解得：k=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由k＞0，则k=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故选B．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及抛物线的焦半径公式，考查计算能力，属于中档题．