Question

15．正方形ABCD的对角线AC在直线x+2y-1=0上，点A，B的坐标分别为A（-5，3），B（m，0）（m＞-5）．
（1）求实数m的值；
（2）求点C、D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据正方形中对角线互相垂直，写出直线BD的方程，与直线AC联立，求出正方形的中心点E的坐标，再利用|AE|=|BE|，列出方程求出m的值；
（2）根据E是AC、BD的中点坐标，列出方程组，分别求出点C、D的坐标．

解答 解：（1）正方形ABCD中，BD⊥AC，且k_AC=-$\frac{1}{2}$，
∴k_BD=-$\frac{1}{{k}_{BD}}$=2，
∴直线BD的方程为y=2（x-m）；
与直线AC：x+2y-1=0联立，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4m}{5}+\frac{1}{5}}\\{y=\frac{-2m}{5}+\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
即正方形的中心点E的坐标为（$\frac{4}{5}$m+$\frac{1}{5}$，-$\frac{2}{5}$m+$\frac{2}{5}$）；
又|AE|=|BE|，
∴$\sqrt{{（\frac{4}{5}m+\frac{1}{5}+5）}^{2}{+（-\frac{2}{5}m+\frac{2}{5}-3）}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{4}{5}m+\frac{1}{5}-m）}^{2}{+（-\frac{2}{5}m+\frac{2}{5}）}^{2}}$，
两边平方，整理得m²+18m+56=0，
解得m=-4或m=-14（因m＞-5，舍去），
∴m的值是-4；
（2）正方形ABCD中，点B的坐标为（-4，0），
设顶点C，D的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∵点E的坐标为（-3，2），E为AC中点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-5{+x}_{1}}{2}=-3}\\{\frac{3{+y}_{1}}{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，
即点C的坐标为（-1，1），
同理可得点D的坐标为（-2，4）．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了直线的位置关系与对称的应用问题，是综合性题目．