Question

10．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1内一点P（3，1），且被这点平分的弦所在直线的方程是3x+4y-13=0．

Answer 1

分析 设出以点P（3，1）为中点的弦两端点为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），利用点差法可求得以P（3，1）为中点的弦所在直线的斜率．再由点斜式可求得直线方程．

解答 解：设以点P（3，1）为中点的弦两端点为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
则x₁+x₂=6，y₁+y₂=2．
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=1，①
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$=1，②
①-②得：$\frac{{{（x}_{1}+{x}_{2}）（x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$+$\frac{{（y}_{1}+{y}_{2}）{（y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0
又据对称性知x₁≠x₂，
∴以点P（3，1）为中点的弦所在直线的斜率k=-$\frac{1×6}{4×2}$=-$\frac{3}{4}$，
∴中点弦所在直线方程为y-1=-$\frac{3}{4}$（x-3），即3x+4y-13=0．
故答案为：3x+4y-13=0．

点评 本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求的方法在求解直线方程中的应用．