Question

已知关于函数，

    （Ⅰ）试求函数的单调区间；

    （Ⅱ）若在区间内有极值，试求a的取值范围；

    （Ⅲ）时，若有唯一的零点，试求．

    （注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如；以下数据供参考：）

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意的定义域为

 

（i）若，则在上恒成立，为其单调递减区间；

（ii）若，则由得，

时，，时，，

所以为其单调递减区间；为其单调递增区间；

（Ⅱ）

所以的定义域也为，且

令 （*）

则 （**）

时, 恒成立,所以为上的单调递增函数，又，所以在区间内至少存在一个变号零点，且也是的变号零点，此时在区间内有极值．

时,即在区间（0,1）上恒成立,此时, 无极值．

综上所述,若在区间内有极值，则a的取值范围为．

（Ⅲ）,由（Ⅱ）且知时, ．

又由（*）及（**）式知在区间上只有一个极小值点,记为, 且时单调递减, 时单调递增,由题意即为,

 

_消去a,得时令,

则在区间上为单调递增函数, 为单调递减函数,

且