Question

已知函数f（x）=4x+

a

x

+b（a，b∈R）为奇函数．
（Ⅰ）若f（1）=5，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当a≥1时，讨论函数g（x）=f（2^x）-c（c∈R）在（-∞，-1]上的单调性，并证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）运用奇函数的定义，可得b=0，再由f（1）=4+a+b=5，求出b，即可；
（Ⅱ）运用函数的单调性的定义，设x₁＜x₂≤-1，作差，整理变形，即可得证．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f(x)=4x+

a

x

+b(a，b∈R)为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即-4x-

a

x

+b=-4x-

a

x

-b，
∴b=0，
又f（1）=4+a+b=5，
∴a=1
∴函数f（x）的解析式为f（x）=4x+

1

x

．
（Ⅱ）函数g（x）在（-∞，-1]上单调递减．
证明：g(x)=4•2x+

a

2x

-c，
设x₁＜x₂≤-1，
g（x₁）-g（x₂）=（4•2^x₁+

a

2x1

-c）-（4•2^x₂+

a

2x2

-c）
=

4•22x1+x2+a•2x2-4•22x2+x1-a•2x1

2x1+x2

=

(4•2x1+x2-a)(2x1-2x2)

2x1+x2

，
∵x₁＜x₂≤-1，
∴x1+x2＜-2，4•2x1+x2＜4•2-2=1，
∵a≥1，即-a≤-1，
∴4•2x1+x2-a＜0，又2x1-2x2＜0，2x1+x2＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂）
∴函数g（x）在（-∞，-1]单调递减．

点评：本题考查函数的奇偶性及运用，考查函数的单调性及证明，注意必须运用定义求证．