题目内容
对于函数f（x）=ax3，（a≠0）有以下说法：
①x=0是f（x）的极值点．
②当a＜0时，f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
③f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点．
④若a＞0且x≠0则f（x）+f（
）有最小值是2a．
其中说法正确的序号是 ．
①x=0是f（x）的极值点．
②当a＜0时，f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
③f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点．
④若a＞0且x≠0则f（x）+f（
| 1 |
| x |
其中说法正确的序号是
考点：利用导数研究函数的极值
专题：综合题,导数的概念及应用
分析：对于①②，求出原函数的导函数，由导函数的符号分析原函数的单调性，从而判断原函数极值的情况；
对于③，求出f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程，和原函数联立后求解x的值，由解得的x的值判断命题③的真假；
对于④，由基本不等式求出函数最值，从而判断④的真假．
对于③，求出f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程，和原函数联立后求解x的值，由解得的x的值判断命题③的真假；
对于④，由基本不等式求出函数最值，从而判断④的真假．
解答：
解：由f（x）=ax3，（a≠0），得f′（x）=3ax2．
①当a＞0时，f′（x）≥0，当a＜0时，f′（x）≤0，
∴函数f（x）是定义域内的单调函数，f（x）无极值点．命题①错误；
②当a＜0时，f′（x）≤0，∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，命题②正确；
③f′（1）=3a，f（1）=a，
∴f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为：y-a=3a（x-1），即y=3ax-2a．
代入f（x）=ax3，得ax3-3ax+2a=0，即x3-3x+2=0，解得：x=-2或x=1．
∴f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点（-2，-8a），∴命题③正确．
④a＞0且x＜0时，f（x）+f（
）=a（x3+
）=-a[(-x)3+
]≤-2a，∴命题④错误；
故答案为：②③．
①当a＞0时，f′（x）≥0，当a＜0时，f′（x）≤0，
∴函数f（x）是定义域内的单调函数，f（x）无极值点．命题①错误；
②当a＜0时，f′（x）≤0，∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，命题②正确；
③f′（1）=3a，f（1）=a，
∴f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为：y-a=3a（x-1），即y=3ax-2a．
代入f（x）=ax3，得ax3-3ax+2a=0，即x3-3x+2=0，解得：x=-2或x=1．
∴f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点（-2，-8a），∴命题③正确．
④a＞0且x＜0时，f（x）+f（
| 1 |
| x |
| 1 |
| x3 |
| 1 |
| (-x)3 |
故答案为：②③．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是掌握原函数的单调性与其导函数符号间的关系，是中档题．
练习册系列答案
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