Question

11．已知双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，直线l：y=kx-kc．若k=$\sqrt{3}$，则l与Γ的左、右两支各有一个交点；若k=$\sqrt{15}$，则l与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围为（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，4）
• C． （2，4）
• D． （4，16）

Answer 1

分析 由题意可知双曲线的渐近线斜率$\sqrt{3}$＜$\frac{b}{a}$＜$\sqrt{15}$，根据e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，即可求得Γ的离心率的取值范围．

解答 解：由题意可知：直线l：y=k（x-c）过焦点F（c，0）．双曲线的渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x，
可得双曲线的渐近线斜率$\sqrt{3}$＜$\frac{b}{a}$＜$\sqrt{15}$，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，
由3＜$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$＜15，4＜1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$＜16，
∴2＜e＜4，
∴双曲线离心率的取值范围为（2，4）．
故选C．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．