Question

已知函数，，.
（1）求的最大值；
（2）若对，总存在使得成立，求的取值范围；
（3）证明不等式：.

Answer 1

（1）0；（2）；（3）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、创新意识，考查分类讨论思想、转化思想.第一问，是导数的应用，利用导数判断函数的单调区间求函数最值；第二问，虽然是恒成立问题，但经过分析可以转化成求和，通过讨论确定每段区间上函数的单调性和最值；第三问，先通过观察凑出所要证明的表达式的形式，再利用等比数列的前n项和公式求和，最后通过放缩法得到结论.
试题解析： （1）∵ ()
∴  ∴当时，，时 
∴  ∴的最大值为0
（2），使得成立，等价于
由（1）知，当时，在时恒为正，满足题意.
当时，，令解得
∴在及上单调递增，在上单调递减，
若即时，，∴ ∴ ∴，
若即时，在,，
而，在为正，在为负，
∴，
当而时不合题意，
综上的取值范围为 .
（3）由（1）知即  ()
取  ∴   ∴即
∴
.