Question

已知R，函数e．
（1）若函数没有零点，求实数的取值范围；
（2）若函数存在极大值，并记为，求的表达式；
（3）当时，求证：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见试题解析．

试题分析：（1）令得，∴．再利用求实数的取值范围；（2）先解，得可能的极值点或，再分讨论得函数极大值的表达式；（3）当时，，要证 即证，亦即证，构造函数，利用导数证明不等式．
试题解析：(1)令得，∴．      1分
∵函数没有零点，∴，∴．        3分
(2)，令，得或．   4分
当时，则，此时随变化，的变化情况如下表：

当时，取得极大值；            6分
当时，在上为增函数，∴无极大值．      7分
当时，则，此时随变化，的变化情况如下表:

当时，取得极大值，∴    9分
(3)证明：当时，             10分
要证 即证，即证      11分
令，则．            12分
∴当时，为增函数；当时为减函数，时取最小值，，∴．
∴，∴．               14分