题目内容

已知函数
(Ⅰ)若,求函数的极值;
(Ⅱ)若函数上单调递减,求实数的取值范围;
(Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同的两点,使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足?若存在,求出;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)取得极大值,无极小值;(Ⅱ)的取值范围为;(Ⅲ)不存在符合题意的两点.

试题分析:(Ⅰ)若,求函数的极值,首先写出,把代入后求导函数,求出导函数在定义域内的零点,然后判断导函数在不同区间段内的符号,从而得到原函数的单调性,最后得到函数的极值情况; (Ⅱ)根据函数上单调递增,则其导函数在内大于0恒成立,分离变量后可求不等式一侧所对应的函数的值域,从而求出的取值范围; (Ⅲ)利用反证法思想,假设两点存在,由线段AB的中点的横坐标与直线AB的斜率之间满足,利用两点求斜率得到,把也用两点的横坐标表示,整理后得到∴,令,引入函数,通过求函数的导函数判断函数单调性得到,即,从而得出矛盾,说明假设错误.
试题解析:(Ⅰ)的定义域为                  1分
,                       2分
单调递增;
单调递减,                         3分
时,取得极大值,无极小值。            4分
(Ⅱ)
若函数上单调递增,
恒成立                5分
,只需               6分
时,,则,            7分
的取值范围为                       8分
(Ⅲ)假设存在,不妨设
                          9分
                                  10分
,整理得        11分
,12分,
上单调递增,                                  13分
,即,故
不存在符合题意的两点。                                  14分
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