Question

12．将函数$f（x）=\sqrt{3}sin（\frac{1}{4}x）cos（\frac{1}{4}x）+{cos^2}（\frac{1}{4}x）-\frac{1}{2}$的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{ω}$（ω＞0）倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，已知函数y=g（x）是周期为π的偶函数，则ω，φ的值分别为（　　）

• A． 4，$\frac{π}{3}$
• B． 4，$\frac{2π}{3}$
• C． 2，$\frac{π}{3}$
• D． 2，$\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦、余弦函数的奇偶性、周期性求得ω，φ的值．

解答 解：将函数$f（x）=\sqrt{3}sin（\frac{1}{4}x）cos（\frac{1}{4}x）+{cos^2}（\frac{1}{4}x）-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1+cos\frac{x}{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位，
可得y=sin[$\frac{1}{2}$（x+φ）+$\frac{π}{6}$]=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{φ}{2}$+$\frac{π}{6}$）的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{ω}$（ω＞0）倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（$\frac{x}{2}$ω+$\frac{φ}{2}$+$\frac{π}{6}$）的图象．
∵已知函数y=g（x）是周期为π的偶函数，∴$\frac{2π}{\frac{ω}{2}}$=π，且$\frac{1}{2}$φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）．
求得ω=4，φ=$\frac{2π}{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦、余弦函数的奇偶性，属于基础题．