Question

20．（Ⅰ）解不等式|6-|2x+1||＞1；
（Ⅱ）若关于x的不等式|x+1|+|x-1|+3+x＜m有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集，得到关于m的不等式，取并集即可．

解答 解：（Ⅰ）∵|6-|2x+1||＞1，
∴|2x+1|＞7或|2x+1|＜5，
解得：x＞3或x＜-4或-3＜x＜2，
故原不等式的解集是{x|x＞3或x＜-4或-3＜x＜2}；
（Ⅱ）∵|x+1|+|x-1|+3+x＜m，
∴x≥1时，x+1+x-1+3+x＜m，
解得：x＜$\frac{m-3}{3}$，
若关于x的不等式|x+1|+|x-1|+3+x＜m有解，
故$\frac{m-3}{3}$＞1，解得：m＞6，
-1＜x＜1时，x+1+1-x+3+x＜m，
解得：x＜m-5，
若关于x的不等式|x+1|+|x-1|+3+x＜m有解，
故m-5＞1，解得：m＞6，
m≤-1时，-x-1+1-x+3+x＜m，
解得：x＞3-m，
若关于x的不等式|x+1|+|x-1|+3+x＜m有解，
故3-m＜-1，解得：m＞4，
综上，实数m的取值范围（4，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．