Question

已知过点M（

p

2

，0）的直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，且

OA

•

OB

=-3，其中O为坐标原点．
（1）求p的值；
（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设A（x₁，y₁），Bx₂，y₂），直线l：x=my+

p

2

，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；
（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），Bx₂，y₂），直线l：x=my+

p

2

，
代入抛物线方程，消去x，得，y²-2pmy-p²=0，
y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²，
由于

OA

•

OB

=-3，即x₁x₂+y₁y₂=-3，
x₁x₂=

y12

2p

•

y22

2p

=

p2

4

，
即有

p2

4

-p²=-3，解得，p=2；

（2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x₁+1，|BM|=x₂+1，
则|AM|+4|BM|=x₁+4x₂+5≥2

4x1x2

+5=9，
当且仅当x₁=4x₂时取得最小值9．
由于x₁x₂=1，则解得，x₂=

1

2

（负的舍去），
代入抛物线方程y²=4x，解得，y₂=±

2

，即有B（

1

2

，±

2

），
将B的坐标代入直线x=my+1，得m=±

2

4

．
则直线l：x=±

2

4

y+1，即有4x+

2

y-4=0或4x-

2

y-4=0．

点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．