Question

已知R上的偶函数f（x）满足对任意x∈R，f（x+2）=

1

f(x)

，且当x∈（0，1）时，f（x）=2-x，则f（

2015

2

）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由已知f（x+2）=

1

f(x)

，将x换为x+2，求出f（x）的周期为4，结合偶函数的定义，f（

2015

2

）变形到f（

1

2

），再由x∈（0，1）时，f（x）=2-x，即可得到答案．

解答： 解：由已知f（x+2）=

1

f(x)

，
得，f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），
即函数的周期为4，
又f（x）是R上的偶函数，则f（-x）=f（x），
故f（

2015

2

）=f（252×4-

1

2

）=f（-

1

2

）=f（

1

2

）
当x∈（0，1）时，f（x）=2-x，
则f（

1

2

）=2-

1

2

=

3

2

，
故f（

2015

2

）═

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题主要考查函数的周期性和函数的奇偶性的定义及应用，是一道基础题．