Question

7．已知f（x）=x²+2ax+b²．
（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求函数f（x）有零点的概率
（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求函数f（x）有零点的概率．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程的判别式大于等于0得到方程x²+2ax+b²=0有实数根的充要条件为a≥b，用列举法求出a从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b从0，1，2三个数中任取的一个数的所有基本事件个数，查出满足a≥b的事件数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；
（2）由题意求出点（a，b）所构成的矩形面积，再由线性规划知识求出满足a≥b的区域面积，由测度比是面积比求概率．

解答 解：设事件A为“方程x²+2ax+b²=0有实数根”．
当a≥0，b≥0时，方程x²+2ax+b²=0有实数根的充要条件为a≥b．
（1）基本事件共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件．
事件A发生的概率为P（A）=$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$；
（2）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
如图，
∴所求的概率P=$\frac{3×2-\frac{1}{2}×{2}^{2}}{3×2}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了几何概型的概率，是中档题．