Question

已知椭圆C的一个顶点为（0，-1），焦点在x轴上，右焦点到直线x-y+1=0的距离为

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，

FA

=λ

FB

，T（2，0），λ∈[2，-1]，求|

TA

+

TB

|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意的性质，可得b=1，再由点到直线的距离公式，可得c，再由a，b，c的关系，得到a，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，结合配方法，即可求|

TA

+

TB

|的取值范围．

解答： 解：（1）椭圆C的一个顶点为（0，-1），
且焦点在x轴上，则b=1，
右焦点（c，0）到直线x-y+1=0的距离为

2

，
则

|c-0+1|

2

=

2

，
则c=1，则a²=b²+c²=2，
即有椭圆C的方程

x2

2

+y²=1；
（2）由题意容易验证直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x=ky+1，
代入椭圆方程

x2

2

+y²=1中，得（k²+2）y²+2ky-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数关系，得y₁+y₂=-

2k

2+k2

①，y₁y₂=-

1

2+k2

②，
因为

FA

=λ

FB

，所以

y1

y2

=λ且λ＜0，所以将上式①的平方除以②，得

y1

y2

+

y2

y1

+2=

-4k2

2+k2

，
即

(y1+y2)2

y1y2

=

-4k2

2+k2

，所以λ+

1

λ

+2=

-4k2

2+k2

，
由λ∈[-2，-1]，则-

5

2

≤λ+

1

λ

≤-2，-

1

2

≤λ+

1

λ

+2≤0，即-

1

2

≤

4k2

2+k2

≤0，
即0≤k²≤

2

7

．
∵

TA

=（x₁-2，y₁），

TB

=（x₂-2，y₂），
∴

TA

+

TB

=（x₁+x₁-4，y₁+y₂），
又y₁+y₂=-

2k

2+k2

，x₁+x₂-4=k（y₁+y₂）-2=-

4(1+k2)

2+k2

，
故|

TA

+

TB

|²=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2=

16(1+k2)2

(2+k2)2

+

4k2

(2+k2)2

=16-

28

2+k2

+

8

(2+k2)2

．令t=

1

2+k2

，由于0≤k²≤

2

7

．则

7

16

≤t≤

1

2

，
则|

TA

+

TB

|²=16-28t+8t²=8（t-

7

4

）²-

17

2

，
由于

7

16

≤t≤

1

2

，∴|

TA

+

TB

|²∈[4，

169

32

]．
则|

TA

+

TB

|∈[2，

13 2

8

]．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．